斐波那契數(shù)列的意義

《達(dá)·芬奇密碼》中還提到過這個斐波那契數(shù)列..菲波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 這個數(shù)列從第三項開始，每一項都等于前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】 很有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。 該數(shù)列有很多奇妙的屬性 比如：隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887 還有一項性質(zhì)，從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1 如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什么64＝65？其實就是利用了斐波那契數(shù)列的這個性質(zhì)：5、8、13正是數(shù)列中相鄰的三項，事實上前后兩塊的面積確實差1，只不過后面那個圖中有一條細(xì)長的狹縫，一般人不容易注意到 如果任意挑兩個數(shù)為起始，比如5、-2.4，然后兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6等，斐波那契數(shù)列的意義你將發(fā)現(xiàn)隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩項之比也越來越逼近黃金分割，且某一項的平方與前后兩項積的差值也交替相差某個值斐波那契數(shù)列別名斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。斐波那挈數(shù)列通項公式的推導(dǎo)斐波那挈數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21 如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(n∈N+)。那么這句話可以寫成如下形式：F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)顯然這是一個線性遞推數(shù)通項公式的推導(dǎo)方法一：利用特征方程線性遞推數(shù)列的特征方程為：X^2=X+1解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.則F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F(1)=F(2)=1∴C1*X1 + C2*X2C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5，C2=-1/√5∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根號5】通項公式的推導(dǎo)方法二：普通方法設(shè)常數(shù)r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]則r+s=1, -rs=1n≥3時，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]將以上n-2個式子相乘，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r，F(xiàn)(1)=F(2)=1上式可化簡得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^(n-2)*s + r^(n-1)（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數(shù)列的各項的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2；歡迎觀看斐波那契數(shù)列的意義的視頻。（更新時間：2017.3.27  15：12）