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股票價格行為與布朗Brown運(yùn)動有什么聯(lián)系

日期：2023-01-30 14:08:07 來源：互聯(lián)網(wǎng)

下面我們研究Brown運(yùn)動的軌道(X(l)在[0, t]上的一個實(shí)現(xiàn)過程)性質(zhì)和聯(lián)合分布等概率性質(zhì).首先Brown運(yùn)動的幾乎每條樣本軌道都是連續(xù)的.但X(t)的樣本軌道不是通常我們見到的函數(shù),而是一個幾乎處處不可導(dǎo)的函數(shù),其物理意義是對象在每一瞬間受到凈碰撞的方向都是任意的.

下面給出Brown運(yùn)動的一些概率特性.

定理在給定現(xiàn)在狀態(tài) X(s)的條件下,過去X(u) (0≤v<s)與將來X(s+t)(t> 0) 獨(dú)立.

證明

P(X(s+t)≤a|X(s)=x, X(v)=x, 0≤v<s)

=P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)=x, X(u)=x, 0≤r<s)

= P(X(s+t)- X(s)≤a-x|X(s)- X(u)=x-x)

= P(X(s+t)- X(s)≤a-x)= P(X(s+t)≤a|X(s)=x).證畢.

由Brown運(yùn)動的定義知道,當(dāng)X(0)= 0時,X(t)的密度函數(shù)可寫成f,(x)=-==e-*/2.任給n個時刻0<t<t:<..<t.,√2πt記....(... ..工)為n個時刻的位置X(4), .. X(1,)的聯(lián)合分布密度函數(shù).利用Brown運(yùn)動的平移不變性,我們可以得到Brown運(yùn)動的聯(lián)合分布密度函數(shù).f..-. (x1，.. x,)的性質(zhì).

定理f.-. (工，...的)= f,(x)f,-,(x:-x). .... .f.,-.(x,-x,-).假定給定X(T)= B, X(0)=工o，求X(:)的條件分布(其中s< T),則X(s)的條件密度函數(shù)是

即E[X(s)1 X(T)= B]= Bs/T,var[X(s) I X(T) = B]= s(T- s)/T.不難發(fā)現(xiàn),約定X(T)= B時X(s)的條件方差(s< T)不依賴于B的具體位置.若令s/T= a, 0<a< 1,則給定X(T)時X(s)的條件分布是正態(tài)的，均值為aX(T),方差為a(1-a)T.定義隨機(jī)過程 {X(t), t≥0|若對一切4, ... :X(1), .，X(t,)}為多元正態(tài)分布,則稱為Gauss過程.Brown運(yùn)動也是一個Gauss過程,其均值和協(xié)方差函數(shù)如下:當(dāng)s<t時，EX(!) = 0,cov(X(s), X(t)) = cov(X(s), X(s) + X(1)- X(s))

= cov(X(s),X(s)) + cov(X(s),X()- X(s))

= cov(X(s), X(s)) = s;

當(dāng)t< s時，X(s)和X(t)的協(xié)方差為t,故cov(X(s), X(t))= min(s, t).

根據(jù)前面給定X(T)=B時Brown運(yùn)動的條件分布的性質(zhì),我們來研究由Brown運(yùn)動X(l)得到的特殊的過程.它在兩個時刻被固定: X(0) = 0，X(1) = 0,即它是一類條件隨機(jī)過程{X(t), 0≤t≤1| X(1)=0}.這類Gauss過程稱為Brown橋，我們來計算它的協(xié)方差函數(shù).對于s< 1,根據(jù)前面的結(jié)果,有E[X(s) | X(1) =0]= 0;對于s<t< 1,有

cov[X(s), X(t) | X(1) = 0]= E[X(s)X(t)| X(1)= 0]

= E[E[X(s)X(t) | X(t)= r, X(1) =0]| X(1) = 0]

= E[X(t)E[X(s) | X(t)]| X(1) =0]

= E[x(t) -X(t) | X(1)=0]=二E[X()1 X(1)=0]

= -t(1-t)= s(1-t),

同時var[X(s) I X(1)=0]= s(1-s).因此, Brown橋可定義為均值為0,協(xié)方差函數(shù)為s(1- l) (s≤1)的Gauss過程.不難看出Brown橋下的方差var[X(s) | X(1) = 0]小于Brown運(yùn)動的方差var[X(s)]=s.例如，債券在持有期到了以后其價格是固定的，因此由Brown橋運(yùn)動的性質(zhì)可知債券的風(fēng)險時時小于股票的風(fēng)險.同時,債券的風(fēng)險與剩余時間(1-s)正相關(guān).這與債券風(fēng)險理論中久期的性質(zhì)非常相似.

定理若{X(1), t≥0}是Brown運(yùn)動,則當(dāng)Z(l) = X(t)-tX(1)時，{Z(t), 0≤l≤1}是Brown橋過程.證明{X(t), t≥0|顯然是Gauss過程, Z(1) = 0,即{Z(t)}的末端也退化為常數(shù).要驗(yàn)證的是:E[Z(t)]= 0及當(dāng)s≤t時,cov[Z(s), Z(t)]= s(1-t).下面進(jìn)行計算.

E[Z(t)] = EX(t)- tEX(1) = 0,

cov[Z(s), Z(t)]= cov[X(s)-sX(1), X(l)- tX(1)]

= cov[X(s), X(t)]- tcov[X(s), X(1)]

- scov[X(1), X(t)]+ stcov[X(1), X(1)] .

= s-st-st十st = s(1-t),證畢.

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