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股票價(jià)格為什么會(huì)服從布朗Brown運(yùn)動(dòng)規(guī)律

日期：2023-01-30 14:12:05 來(lái)源：互聯(lián)網(wǎng)

我們常假設(shè)股票的價(jià)格波動(dòng)服從與Brown運(yùn)動(dòng)同樣的規(guī)律，在資產(chǎn)組合管理中有如下重要定理.定理股價(jià)在運(yùn)行中對(duì) 于任何價(jià)格幾乎都是可以達(dá)到的,但達(dá)到的平均時(shí)間卻是無(wú)窮的.證明記Brown運(yùn)動(dòng)首次到達(dá)a的時(shí)刻為T。.我們分兩種情況來(lái)考慮.第一種情形是時(shí)刻t以前Brown 運(yùn)動(dòng)已到達(dá)a,即T,≤t.由全概率公式得

P(X(t)≥a)= P(X(t)≥a| T.≤t)P(T.≤t) .

+ P(X(t)≥a | T.> t)P(T。> t).

上式右邊的第二項(xiàng)顯然等于0,因?yàn)橛蛇^(guò)程的連續(xù)性,Brown運(yùn)動(dòng)不可能還未到達(dá)a就大于a，即

P(X(t)≥a) = P(X(I)≥a| T.≤l)P(T,≤l).

設(shè)T,≤I,即在[0, 1]區(qū)間內(nèi)的某一時(shí)刻,Brown運(yùn)動(dòng)曾經(jīng)到.達(dá)過(guò)a,則由對(duì)稱性,在1時(shí)刻(區(qū)間末),它在a之上或a之下是等可能的，即不管a多大,幾乎每條樣本軌道總能在有限時(shí)刻首次達(dá)到a.接下來(lái)我們分析達(dá)到a的平均時(shí)間ET。由前式可知T.的密度函數(shù)為f.(1)=--e項(xiàng)

從上面的結(jié)論可知,Brown運(yùn)動(dòng)的幾乎所有樣本軌道初次經(jīng)過(guò)a的時(shí)刻都有限,但是過(guò)a點(diǎn)的平均時(shí)間卻是無(wú)窮的.

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